Bài tập luyện thi vào lớp 10
9 Gv : Lưu Văn Chung
Bài 20
Cho đường tròn (O; R) và một dây AB cố đònh ( AB < 2R ) . Một
điểm M tùy ý trên cung lớn AB ( M A , B ) . Gọi I là trung điểm
của dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A.
Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N
, P.
1. Chứng minh IA
2
= IP.IM
2. Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành
3. Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP)
4. Chứng minh khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố
đònh
Bài 21
Cho ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đường
tròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng
d quay quanh A cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N sao
cho A nằm giữa M và N.
1. Chứng minh H BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông
2. Chứng minh tỉ số
HM
HN
không đổi
3. Gọi I là trung điểm MN , K là trung điểm BC. Chứng minh 4
điểm A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn và I di chuyển trên
một cung tròn cố đònh
4. Xác đònh vò trí của đường thẳng d để diện tích
MHN lớn nhất
Bài 22
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng
d thay đổi cắt Ax tại M , cắt By tại N sao cho AM.BN = a
2
.
1. Chứng minh AOM ~ BON và
MON vuông
2. Gọi H là hình chiếu của O trên MN. Chứng minh đường thẳng d
luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố đònh tại H.
3. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp MON chạy trên
một tia cố đònh
4. Tìm vò trí của đường thẳng d sao cho chu vi AHB đạt giá trò lớn
Bài tập luyện thi vào lớp 10
10 Gv : Lưu Văn Chung
nhất , tính giá trò lớn nhất đó theo a
Bài 23
Cho ABC có ba góc nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành
BHCD. Đường thẳng qua D và // BC cắt đường thẳng AH tại E.
1. Chứng minh A , B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , chứng minh
BAE OAC
và BE = CD
3. Gọi M là trung điểm của BC , đường thẳng AM cắt OH tại G.
Chứng minh G là trọng tâm của ABC
Bài 24
Cho ba điểm cố đònh A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự đó ). Một
đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B, C . Từ điểm A kẻ các
tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn (O). Đường thẳng MN cắt AO và
AC lần lượt tại H và K
1. Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố đònh
2. Gọi I là trung điểm BC. Vẽ dây MD // BC. Chứng minh DN đi
qua điểm cố đònh
3. Chứng minh đường tròn (OHI) luôn đi qua 2 điểm cố đònh
Bài 25
Cho ABC có
0
45A , BC = a . O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC B’ và C’ là chân các đường cao hạ từ B và C xuống các cạnh
tương ứng .Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’.
1. Chứng minh A , B’ , O’ , C’ cùng thuộc một đường tròn tâm I
2. Tính B’C’ theo a
3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a
Bài 26
Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp
tuyến MA và MB với (O)
1. Chứng minh AMB đều và tính MA theo R
2. Qua điểm C thuộc cung nhỏ
AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tại
E và cắt MB tại F. Chứng minh chu vi MEF không đổi khi C
chạy trên cung nhỏ AB
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
11 Gv : Lưu Văn Chung
3. OF cắt AB tại K , OE cắt AB tại H. Chứng minh EK OF.
4. Khi sđ
BC = 90
0
. Tính EF và diện tích OHK theo R
Bài 27
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố đònh. Điểm A di chuyển trên
cung lớn
BC
.Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
1. Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn
2. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại M
và N. Chứng minh MN // ED và 4 điểm B, C , M , N cùng thuộc
một đường tròn
3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua một
điểm cố đònh
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi qua
một điểm cố đònh O’
5. Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O)
Bài 28
Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R
3
.Vẽ đường tròn (M) đường
kính BC. Lấy điểm A (M) (A ở ngoài (O) ). AB , AC cắt (O) tại D
và E. Đường cao AH của ABC cắt DE tại I.
1. Chứng minh AD.AB = AE.AC
2. Chứng minh I là trung điểm DE
3. AM cắt ED tại K. Chứng minh IKMH nội tiếp
4. Tính DE và tỉ số
AH
AK
theo R
5. Tìm vò trí điểm A để diện tích ADE lớn nhất
Bài 29
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến
chung gần P của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với
(O’) tại B. Tiếp tuyến cỏa (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ hai là D (D
P), đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại K. Chứng minh :
1. Bốn điểm A , B , Q , K cùng thuộc một đường tròn
2. BPK cân
3. Đường tròn ngoại tiếp PQK tiếp xúc với PB và KB
Bài tập luyện thi vào lớp 10
12 Gv : Lưu Văn Chung
Bài 30
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến
chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại
C và D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và
(O’) tại M và N. Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường
thẳng MN tại P và Q; các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E.
Chứng minh :
1. Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2. EPQ cân
Bài 31
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ).
Đường tròn tâm (O’) tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với hai cạnh
AB và AC tại I và K . Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với (O).
1. Chứng minh ME là tia phân giác
AMC
2. Tia phân giác Mx của
BMC
cắt IK tại F . Chứng minh tứ giác
FKCM và FIBM nội tiếp
3. Chứng minh BIF ~ FKC
4. Chứng minh FM
2
= MB.MC
5. Chứng minh tia CF là phân giác
BCA
Bài 32
Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB và CD vuông góc với
nhau . I là điểm di động trên bán kính OB ( I B và O ).Tia CI cắt
đường tròn tại E.
1. Chứng minh OIED nội tiếp
2. Chứng minh CI.CE = 2R
2
3. DB cắt CE tại H. AE cắt CD tại K. Chứng minh HK // AB
4. Chứng minh diện tích tứ giác ACIK không đổi khi I di động
trên OB ( I O và B )
Bài 33
Cho đường tròn (O;R) và một dây cung AB cố đònh . Gọi M là điểm
chính giữa cung nhỏ
AB . Lấy điểm C tùy ý trên trên cung nhỏ
MB ,
kẻ tia Ax vuông góc với tia CM tại H , cắt đường thẳng BC tại K.
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
13 Gv : Lưu Văn Chung
1. Chứng minh CM là tia phân giác của
ACK
2. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABK và
sđ
AKB không phụ thuộc vào vò trí điểm C
3. Tia KM cắt tia AB tại E và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là
F. Chứng minh tích ME.MF không đổi khi C di động và tính
tích đó theo R và
MAB
Bài 34
Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp
tuyến MA và MB với (O)
1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO
AB
2. Chứng minh AMB đều và tính MA theo R
3. Qua điểm C thuộc cung nhỏ
AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA
tại E và cắt MB tại F. OF cắt AB tại K .OE cắt AB tại H.
Chứng minh EK OF
4. Chứng minh EF = 2HK
Bài 35
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ).
Đường cao BE của tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) tại K . Kẻ
KD vuông góc với BC tại D .
1. Chứng minh 4 điểm K ; E ; D ; C cùng thuộc một đường tròn .
Xác đònh tâm của đường tròn này
2. Chứng minh KB là phân giác của
AKD
3. Tia DE cắt đường thẳng AB tại I . Chứng minh KI
AB
4. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA , cắt AB tại H .
Chứng minh CH // KI
Bài 36
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M , N là hai điểm di động trên AD và
DC sao cho
0
45MBN . BM , BN cắt AC lần lượt tại E và F.
1. Chứng minh NE BM
2. Gọi H là giao điểm của ME và NF. Chứng minh
HF.HM =HE.HN
3. Tia BH cắt MN tại I. Tính BI theo a. Suy ra đường thẳng MN
Bài tập luyện thi vào lớp 10
14 Gv : Lưu Văn Chung
luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh.
4. Cho a = 5, AM = 2 . Tính EF.
Bài 37
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố đònh trên đường tròn . Một
góc nhọn
xAy
có số đo không đổi quay quanh A cắt đường tròn tại B
và C.Vẽ hình bình hành ABDC. Gọi E là trực tâm BDC.
1. Chứng minh E thuộc đường tròn (O;R)
2. Gọi H là trực tâm của ABC. Chứng minh EH , BC và AD
đồng quy tại một điểm I
3. Khi góc
xAy
quay quanh A sao cho Ax và Ay vẫn cắt (O;R) thì
H di chuyển trên đường cố đònh nào ?
Bài 38
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một đường thẳng d qua tâm O của
hình vuông cắt AD và BC tại E và F. Từ E kẻ đường thẳng song song
với BD , từ F kẻ đường thẳng song song với AC , chúng cắt nhau tại I.
1. Chứng minh A , I , B thẳng hàng
2. Kẻ IH EF tại H. Chứng minh H luôn thuộc một đường tròn
cố đònh khi d quay quanh O
3. Đường thẳng IH cắt đường trung trực của AB tại K. Chứng
minh AKBH nội tiếp . Suy ra K cố đònh
4. Tìm vò trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác AKHB lớn
nhất
Bài 39
Cho đường tròn (O;R) và dây AB cố đònh . I là điểm chính giữa cung
lớn
AB . M là điểm di động trên cung lớn
AB . K là trung điểm AB.
Vẽ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI tại H cắt đường thẳng MB
tại C.
1. Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp
2. Chứng minh AMC là các tam giác cân
3. Chứng minh khi M di động thì C luôn thuộc một đường cố đònh
4. Gọi E là điểm đối xứng với A qua I và F là điểm đối xứng với
B qua đường thẳng MI. Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
15 Gv : Lưu Văn Chung
5. Tìm vò trí M để chu vi ABM lớn nhất
6. Tìm vò trí M để chu vi ACM lớn nhất
Bài 40
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm AO.
Vẽ đường thẳng Cx AB tại C cắt đường tròn tại I, K là điểm di
động trên đoạn CI ( K C và I), Tia AK cắt (O) tại M. Đường thẳng
Cx cắt đường thẳng BM tại D, cắt tiếp tuyến tại M của (O) tại N
1. Chứng minh AK.AM = R
2
2. Chứng minh NMK cân
3. Khi K là trung điểm CI. Tính diện tích
ABD theo R
4. Chứng minh khi K di động trên đoạn CI thì tâm đường tròn
ngoại tiếp ADK thuộc một đường thẳng cố đònh.
Bài 41
Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB. I là điểm thuộc AO sao cho
AO = 3IO. Qua I vẽ dây CD AB. Trên CD lấy K tùy ý . Tia AK cắt
(O) tại M.
1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp
2. Chứng minh đường thẳng AM tiếp xúc với đường tròn ngoại
tiếp MKC
3. Chứng minh tâm P của đường tròn ngoại tiếp CMK thuộc
một đường cố đònh
4. Tính khoảng cách nhỏ nhất của DP
Bài 42
Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm thuộc
cung nhỏ AC. Tia AM cắt tia BC tại D.
1. Chứng minh
ADC ACM
2. Chứng minh AC
2
= AM. AD
3. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
MCD
4. Lấy E là điểm thuộc tia đối của tia MB sao cho ME = MC.
Chứng minh ABDE nội tiếp .
5. Chứng minh C luôn thuộc một cung tròn cố đònh . Xác đònh
tâm của cung tròn này.
Bài tập luyện thi vào lớp 10
16 Gv : Lưu Văn Chung
Bài 43
Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d không cắt đường tròn .
Vẽ OH d tại H. M là điểm thuộc d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và
MB với (O) ( A , B là các tiếp điểm ).
1. Chứng minh tứ giác MAOH nội tiếp
2. Đường thẳng AB cắt OH tại I. Chứng minh IH.IO = IA.IB
3. Chứng minh I cố đònh khi M chạy trên đường thẳng d.
4. Cho OM = 2R , OH = a. Tính diện tích MAI theo a và R
Bài 44
Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở ngoài đường tròn . Vẽ đường
thẳng d OA tại A. Lấy điểm M d . Vẽ tiếp tuyến MC với (O) C
là tiếp điểm ).
1. Chứng minh 4 điểm M , A , O , C cùng thuộc một đường tròn.
2. AC cắt (O) tại B, Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại E , cắt
đường thẳng d tại D. Chứng minh M, E, O, D cùng thuộc một
đường tròn
3. Chứng minh A là trung điểm MD
4. Chứng minh EOD ~ COA.
5. Cho OM = 2R và OA = a. Tính DE theo a và R
Bài 45
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)( AB < AC ).
Kẻ đường cao AH và đường kính AD của đường tròn (O). Phân giác
của
BAC cắt (O) tại E.
1. Chứng minh AE là phân giác của
HAD
2. Chứng minh AB.AC = AH.AD
3. Chứng minh
HAD ABC ACB
4. EO cắt AC tại F , BF cắt AH tại M. Chứng minh AFM cân
5. Cho AB = 4 , AC = 5 , R = 3. Tính BC (lấy 1 chữ số thập phân )
Bài 46
Cho ABC đều nội tiếp (O;R). M là điểm trên cung nhỏ
BC
. Trên
dây AM lấy điểm E sao cho ME = MB .
1. Chứng minh MBE đều
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
17 Gv : Lưu Văn Chung
2. Chứng minh CBM = ABE
3. Tìm vò trí điểm M sao cho tổng MA + MB + MC lớn nhất
4. Khi M chạy trên
BC nhỏ thì E chạy trên đường cố đònh nào
5. Gọi F là giao điểm của AM và BC. Chứng minh
1 1 1
MF MB MC
6. Chứng minh
2 2 2 2
6MA MB MC R
Bài 47
Cho đường tròn (O;R) và dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với
AB tại K.( D thuộc cung nhỏ
AB ). M là điểm thuộc cung nhỏ
BC
.
DM cắt AB tại F.
1. Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp
2. Chứng minh DF. DM = AD
2
3. Tia CM cắt đường thẳng AB tại E. Tiếp tuyến tại M của (O)
cắt AF tại I. Chứng minh IE = IF
4. Chứng minh
FB KF
EB KA
Hd : d) Chú ý F là trực tâm của CDE .
Suy ra : KE.KF = KC.KD
Bài 48
Cho ABC vuông tại A ( AB < AC ). Tia phân giác của
ABC cắt AC
tại M. Đường tròn (O) đường kính MC cắt tia BM tại H, cắt BC tại N.
1. Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp
2. Chứng minh HC
2
= HM.HB
3. HO cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm NC
4. Cho AB = 5 cm , HC =
3 2
cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 49
Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với
nhau E là điểm thuộc
DB nhỏ. AE cắt DC tại N , CE cắt AB tại M.
1. Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp
2. Chứng minh AN. AE = 2R
2
3. Chứng minh
ANC ~
MAC. Tìm vò trí của E để diện tích
Bài tập luyện thi vào lớp 10
18 Gv : Lưu Văn Chung
NEN lớn nhất
4. Biết AM = 3BM. Tính DN và EB theo R
Bài 50
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) với AB < AC.
Phân giác của
BAC
cắt BC tại E và cắt (O) tại D. Tia OD cắt BC
tại K.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M .
1. Chứng minh tứ giác MAOK nội tiếp
2. Chứng minh MA
2
= MB.MC
3. Chứng minh MA = ME
4. Kẻ tiếp tuyến MF của (O) ( F là tiếp điểm ). Chứng minh tia
FE v đường thẳng DO cắt nhau tại điểm thuộc (O).
5. Biết BE = a và EC = b. Tính AM theo a và b.
Bài 51
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Phân giác
của góc
BAC
cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E.
Vẽ DK AB và DM AC tại K và M.
1. Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp và KM AE
2. Chứng minh AD.AE = AB.AC
3. Chứng minh MK = AD. sin
BAC
4. So sánh diện tích tứ giác AKEM và diện tích ABC
Bài 52
Cho điểm A đoạn BC sao cho AB = 2AC . Vẽ đường tròn (O;R)
đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC.
1. Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc nhau
2. Lấy điểm H đoạn OB sao cho OH =
1
5
OB. Vẽ tia Hx
vuông góc AB cắt (O) tại D. Tia DA cắt (O’) tại M. Vẽ đường
kính MN của (O’). OD cắt BN tại K. Chứng minh OD // MN
và tính OK theo R
3. Chứng minh BN là tiếp tuyến của (O’)
4. DA cắt BN tại E. Tính diện tích BEA theo R
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
19 Gv : Lưu Văn Chung
Bài 53
Cho AOB cân tại O (
0
90AOB ). Trên cạnh AB lấy điểm M , vẽ
MC // OB và MD // OA. Vẽ đường tròn (C;CM) và đường tròn
(D;DM) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
1. Chứng minh A (C ; CM) và B (D;DM)
2. Chứng minh ANB ~ CMD
3. Chứng minh N thuộc một đường cố đònh khi M chạy trên AB
4. Chứng minh ONM vuông
Bài 54
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ đường
cao AH của ABC , đường kính AD. Gọi E và F lần lượt là hình
chiếu của C và B lên AD. M là trung điểm BC.
1. Chứng minh các tứ giác ABHF và BFOM nội tiếp
2. Chứng minh HE // BD
3. Chứng minh S
ABC
=
. .
4
AB AC BC
R
4. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp EFH
Bài 55
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố đònh , A là điểm di chuyển trên
cung lớn
BC . Vẽ 2 đường cao BE và CF của ABC cắt nhau tại H.
1. Chứng minh
AFE ACB
2. Vẽ bán kính ON BC tại M ( N cung nhỏ
BC ) . AN cắt
BC tại D. Chứng minh AB.NC = AN.BD
3. AH cắt (O) tại K . Chứng minh : BC. AK = AB.CK + AC.BK
4. Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp ADC luôn
thuộc một đường cố đònh khi A di chuyển trên cung lớn
BC
Bài 56
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’: r) (R > r) cắt nhau tại Avà B. Vẽ
đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O’). M là điểm thuộc
cung nhỏ BC. MB cắt (O’) tại N.
1. Chứng minh C , B , D thẳng hàng. Tính tỉ số
AN
AM
theo R và r
Bài tập luyện thi vào lớp 10
20 Gv : Lưu Văn Chung
2. CM và DN cắt nhau tại E. Ch. minh tứ giác AMEN nội tiếp
3. Chứng minh điểm E thuộc một đường cố đònh khi M thay đổi
4. Chứng minh AMB ~ AED
Bài 57
Cho ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ đường tròn (O) đường
kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D .
1. Chứng minh AD.AC = AE.AB
2. Gọi H là giao điểm của BD và CE , K là giao điểm của AH và
BC. Chứng minh
BHK AED
3. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với (O) với M , N là các tiếp
điểm .Chứng minh KA là phân giác của
NKM
4. Chứng minh ba điểm M, N , H thẳng hàng
Bài 58
Cho (O;R) và điểm P trên đường tròn . Từ P vẽ hai tia Px , Py cắt
đường tròn tại A và B sao cho
xPy
là góc nhọn.
1. Vẽ hình bình hành APBM. Gọi K là trực tâm của ABM.
Chứng minh K thuộc đường tròn (O)
2. Gọi H là trực tâm của APB , I là trung điểm AB. Chứng
minh H , I , K thẳng hàng
3. Khi hai tia Px và Py quay quanh P sao cho Px và Py vẫn cắt
đường tròn và
xPy
không đổi thì H chạy trên đường cố đònh
nào.
Bài 59
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di
động trên trên cung nhỏ
BC . Từ M kẻ MH AB và MK AC.
1. Chứng minh MBC ~ MHK
2. Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh MD BC
3. Tìm vò trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất .
Bài 60
Cho hai điểm A và B thuộc đường tròn (O) ( AB không đi qua O ) và
có hai điểm C và D lưu động trên cung lớn AB sao cho AD // BC ( C
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
21 Gv : Lưu Văn Chung
và D khác A và B ; AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC.
Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại I.
1. Chứng minh ba điểm I , O , M thẳng hàng
2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp
MCD không đổi
Bài 61
Cho (O;R) và dây MN cố đònh P là điểm chính giữa cung lớn
MN
.
Lấy điểm I thuộc
PN nhỏ, kẻ tia Mx PI tại K cắt tia NI tại E.
1. Chứng minh IP là tia phân giác của
MIE
2. Chứng minh E luôn chạy trên một cung tròn cố đònh khi I di
chuyển trên cung nhỏ
PN
. Xác đònh tâm của cung tròn này.
3. Tia EP cắt MN tại F, cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh
PM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp MFG
4. Tính tích PF.PG theo R và
PMN
Bài 62
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố đònh thuộc (O). Vẽ tiếp
tuyến Ax, trên tia Ax lấy điểm Q. Vẽ tiếp tuyến QB với đường tròn
(O) ( B là tiếp điểm ).
1. Chứng minh QBOA nội tiếp và OQ
AB
2. Gọi E là trung điểm OQ. Tìm quỹ tích của E khi Q di chuyển
trên tia Ax
3. Vẽ BK Ax tại K cắt OQ tại H. Tìm quỹ tích của H
4. Cho AQ = 2R. Tính HK theo R
Bài 63
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao
AD , BE , CF cắt nhau tại H . AH cắt (O) tại K. Đường thẳng AO cắt
đường tròn (O) tại M.
1. Chứng minh MK // BC và DH = DK
2. Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC
3. Chứng minh : 1
HD HE HF
AD BE CF
4. Chứng minh 9
AD BE CF
HD HE HF
Bài tập luyện thi vào lớp 10
22 Gv : Lưu Văn Chung
Bài 64
Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). Một đường thẳng d thay
đổi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của (O) ở M và N. Giả sử d
cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi F là giao điểm của MC
và NB.
1. Chứng minh MBA ~ CAN
2. Chứng minh tích MB.CN không đổi
3. Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp
4. Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua điểm cố đònh
Bài 65
Cho đường tròn (O;R) và đường kính AB cố đònh. MN là đường kính
thay đổi của (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BM và BN lần lượt tại
E và F. Gọi I là trung điểm EA và K là trung điểm AF.
1. Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp
2. Chứng minh IMNK là hình thang vuông. Tính EF theo R để
IMNK là hình chữ nhật
3. Chứng minh tích AI.AK không đổi khi MN thay đổi
4. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp IBK luôn đi qua điểm cố
đònh ( khác điểm B )
Bài 66
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm M tùy ý thuộc bán kính
OC . Qua M vẽ dây AE vuông góc với BC. Từ A vẽ tiếp tuyến của (O)
cắt đường thẳng BC tại D.
1. Chứng minh EC là phân giác của
AED
2. Vẽ đường cao AK của BAE . Gọi I là trung điểm của AK.
Tia BI cắt đường tròn (O) tại H. Chứng minh MH AH
3. Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp
4. Chứng minh đường thẳng BD là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp AHD
5. Khi M là trung điểm OC. Tính diện tích MHC theo R
Bài 67
Từ điểm A ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
23 Gv : Lưu Văn Chung
đường tròn (B và C là hai tiếp điểm ). Vẽ cát tuyến AEF với đường
tròn (O). Vẽ dây ED OB cắt BC tại M và cắt BF tại N. Gọi K là
trung điểm EF.
1. Chứng minh tứ giác KMEC nội tiếp và
KCE BNE
2. Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp
3. Chứng minh tia FM đi qua trung điểm của AB
Bài 68
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R)
(AB < AC ). Ba đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H.
1. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp . Xác đònh tâm I.
2. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh
KF.KE = KB.KC
3. AK cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh MFEA nội tiếp
4. Chứng minh M , H , I thẳng hàng.
Bài 69
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm C trên nửa đường
tròn ( CA > CB ). Kẻ CH AB tại H. Đường tròn tâm K đường kính
CH cắt AC tại D và BC tại E , cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ
hai là F.
1. Chứng minh CH = DE
2. Chứng minh CA.CD = CB.CE
3. Chứng minh ABED nội tiếp
4. CF cắt AB tại Q. Hỏi K là điểm đặc biệt gì của OCQ.
5. Chứng tỏ Q là một giao điểm của DE và đường tròn ngoại
tiếp OKF
Bài 70
Cho đường tròn (O, R) và dây BC . A là điểm thuộc cung lớn
BC
sao
cho
0
60BAC
.Kẻ đường cao AH, BE , CF của ABC.
1. Chứng minh BEFC nội tiếp đường tròn . Xác đònh tâm I
2. Chứng minh đường thẳng kẻ từ A và vuông góc với EF đi qua
một điểm cố đònh khi A chạy trên
AB
3. Gọi M và N lần lượt là trung điểm EB và FC. Chứng minh
Bài tập luyện thi vào lớp 10
24 Gv : Lưu Văn Chung
M , H, I , N cùng thuộc một đường tròn
d. Nếu IA là phân giác của
EIF . Tính số đo
BCE
Bài 71
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chạy
trên cung nhỏ
BC
. Gọi E và F là hình chiếu của A lên đường thẳng
MB và MC. AH là đường cao của ABC.
1. Chứng minh 4 điểm A , E , M , F cùng thuộc một đường tròn
2. Chứng minh khi M thay đổi thì tỉ số
AE
AF
không đổi
3. Chứng minh E , H , F thẳng hàng
4. Tìm vò trí M trên cung nhỏ
BC để tổng AE.MB + AF.MC
lớn nhất.
Bài 72
Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) . D là điểm tùy ý trên
BC
không chứa điểm A. Gọi (O’) là đường tròn tiếp xúc ngoài với (O)
tại D. Các tia AD , BD , CD lần lượt cắt đường tròn (O’) tại A’ ; B’
; C’.
a. Chứng minh
' ' 'AA BB CC
AD BD CD
b. Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD
c. Gọi AA
1
, BB
1
, CC
1
là các tiếp tuyến của (O’) lần lượt vẽ từ
A , B , C ( A
1
, B
1
, C
1
là các tiếp điểm ). Chứng minh :
AA
1
.BC = BB
1
.AC = CC
1
.AB
Bài 73
Cho đøng tròn tâm O đường kính AB = 2R. Lấy điểm M (O; R)
sao cho MA < MB. Phân giác góc AMB cắt đøng tròn tại D , cắt AB
tại K.
a. Chứng minh OD
AB và
ADB cân
b. Trên cạnh MB lấy điểm C sao cho MC = MA. Chứng minh tứ
giác DKCB nội tiếp
c. Vẽ phân giác BI của MKB. Chứng minh D là tâm đøng
tròn ngoại tiếp tứ giác AICB
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
25 Gv : Lưu Văn Chung
d. Vẽ đường kính DF của đøng tròn (O;R), MF cắt AI tại N.
Biết AM = R tính khoảng cách từ N đến đường thẳng AM
Bài 74
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đøng tròn (O;R). (AC < AC)
Tiếp tuyến tại B và tiếp tuyến tại C của đøng tròn (O) cắt nhau tại
D. Tia OD cắt BC tại H
a. Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp và OD BC tại H
b. Chứng minh HO.HD =
2
4
BC
c. Vẽ cát tuyến DMN với đøng tròn (O) song song với Abcắt
AC tại K. Chứng minh DM.DN = DB.DC
d. Chứng minh OK MN
e. Cho
0
60BAC và
0
90AOB . Tính diện tích BKC theo R
Bài 75
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đøng tròn (O;R) (AB < AC).Phân
giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt (O;R) tại M.
a. Chứng minh OM BC tại I
b. Tiếp tuyến tại A cắt BC tại S. Chứng minh SA = SD
c. Vẽ đường kính MN của (O;R) cắt AC tại F , BN cắt AM tại E.
Chứng minh EF // BC
d. Vẽ tiếp tuyến SK của (O) (K là tiếp điểm , K A). Chứng minh K ,
N , D thẳng hàng
e. Cho AB = 3 , BC = 5 , AC = 6. Chứng minh SAB cân
Bài tập luyện thi vào lớp 10
26 Gv : Lưu Văn Chung
1. Chứng minh EFO’O nội tiếp
cm
'EOA FO A
2. Chứng minh
MC
NF
không đổi
cm MCE ~ NFD
và CEA ~ DFA
MC EC AC
NF DF AD
không đổi
3. Quỹ tích trung điểm I của MN
Gọi P là trung điểm CD
P cố đònh và IP là đường trung bình của hình
thang CMND
PIA vuông tại I
I thuộc đường tròn đường kính
AP cố đònh
4. Chứng minh đường thẳng KI đi qua điểm cố đònh
Chứng minh MKN cân
K , I , P thẳng hàng
KI đi qua P cố đònh
5. Khi MM // EF Chứng minh MN = BE + BF
Trước hết cần chứng minh C , B , D thẳng hàng
MN // EF
EFA FAN
Mà
EFA ADB
FAN ADB
AB FN
BF AN
BF = AN
Tương tự chứng minh BE = AM
MN = BE + BF
HƯỚNG DẪN GIẢI
E
F
N
M
O
O’
A
B
C D
K
F
N
D
O’ O
M
C
P
B
A
E
I
Bài 1
Bài 2
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Bài tập luyện thi vào lớp 10
27 Gv : Lưu Văn Chung
1. Chứng minh
CAF CKF
Chứng minh AKFC nội tiếp
2. Chứng minh KAF vuông cân
Chú ý
0
45AFK ACD
3. Chứng minh đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF
Chứng minh AIBF nội tiếp
0
45ABI AFI
Mà
0
45ABD
B , D , I thẳng hàng
4. Chứng minh IMCF nội tiếp
Chứng minh ABM = CBM
BAM BCM
Mà
BAM BIF
BCM BIF
Do đó tứ giác IMCF nội tiếp
5. Tính tỉ số
ID
CF
Chứng minh ADI ~ ACF
2
2
ID AD
CF AC
1. Chứng minh
IHM ICM
Chứng minh tứ giác MIHC nội tiếp
2. Chứng minh MK
BK
Chứng minh tứ giác BHMK nội tiếp
3. Chứng minh
MIH ~
MAB
Chứng minh
( )IMH AMB ACB
Và
IHM ABM
4. Chứng minh ME
EF
Ta có
MIH MAB và
IH AB
IM AM
( MIH ~ MAB )
IF AE
IM AM
MAE ~ MIF ( c-g-c)
KFM KEM
KMFE nội tiếp
0
90MFE MKE MF EF
A
B
C
D
F
E
M
I
K
A
C
B
H
I
E
F
K
M
Bài 3
Bài tập luyện thi vào lớp 10
28 Gv : Lưu Văn Chung
A
B
C
H
O
D
M
F
E
N
1. Chứng minh EFCH và EFBD nội tiếp
Học sinh tự chứng minh
2. Chứng minh EF
2
= ED.EH
Chứng minh EFD ~ EHF (g-g)
3. Chứng minh EMFN nội tiếp
Ta có
DEB EBC ECB ( góc ngoài BEC )
Mà
EBC ECH EFH
và
ECB DBE DFE
Suy ra :
DEB DFE EFN MFN tứ giác EMFN nội tiếp
4. Chứng minh MN EF
Ta có :
ENM EFM ( EMFN nội tiếp )
Mà :
EFM DBE BEC
ENM BCE
MN // BC MN
EF
1. Chứng minh AMOI nội tiếp . Xác đònh tâm K của đường tròn
Học sinh tự chứng minh
2. Chứng minh CHOD nội tiếp
Bài 4
Bài 5
WWW.MATHVN.COMWWW.MATHVN.COM
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét