ẹỉ ì ỉề ỉ ũề ề ặ ề ỉệề ủí ỉệểề ề ềủí ì
ề ề ề ìá ềề ụ ủ ỉểụề ỉ ễ ỉíề ề ề
ủ ủ ỉểụề ỉ ủẹ ỉề ềỉ ề ề ệề
ề ắ óụ ủ ỉểụề ỉ ọ ỉệề ủí ỳề ỉỳỉ ụ ụ ềẹ ủ ỉ ếũ
ủ ỉểụề ỉ ễ ỉíềá ễề ỉ ỉ ễề ủ ỉ ỉểủề á ỉ
ề ệủề ủ ỉ ệủề á ụ ề ề ủ ề
ỉ á ỉ éủ ề è ể ỉ ệủề
ụ ụ ềẹ ềề ỉễ ĩá ụ ềẹ ề ếíá ủẹ ệề ủ ềề ỉ
ệề ề ỉ ặ ú ệ ẹề ểừ ể
ụ ụ ềẹ ủ ỉ ếũ ỉệề ủí
ề óủ ỉểụề ỉ ủẹ ỉề ềỉ ềọ ễ ỉ éễ ủ
ỉểụề ỉ ễ ỉíề ụ ủẹ ỉề ềỉ ề ủ ỉểụề ĩỉ ỉ
ề ừỉ ề ẹỉ ủ ỉểụề ó
min-max
ọ ề ũềá ó
max
ọ éủ ủ ỉểụề ỉíề
ỉề ỉề ỉề ẹỉ ệủề í ềỉ è ề ụ ề ừỉ ẹ
ể ế ểừ ỉíề ỉề ủ ế ểừ ỉểủề ễề ệủề ỉíề ỉề ẻ
ềề ũ ỉỉ ềỉ ềá ỉ ệ ủ ỉểụề ỉ ề é ỉề
ề ủ ỉểụề ỉ é
ể ỉ ề ừề ềề éề ề ềủí ẹ ề éừ ỉẹ ỉủ
éá ìỳễ ĩễ ủ ỉệề ủí ụ ỉ ếũ ềề ú ỉể ỉ ệ
èệểề ếụ ỉệề ỉ éề ề ề ề ỉệểề ĩ é ề ũề ỳ ỳề ề
ỉệụề ềề ì ìỉ ềỉ ề èụ ũ éề ề ệỉ ẹểề ềề
ì ễ ụ ỉí ủ ụ ừề ề ềễ éề ề ểủề ỉề
ề
ặề ễ ềủíá ỉụ ũ ĩề ủí ỉ éề ỉ ề ì ìỳ ề ỉí ề ề
ậạèậ èệề ẻ è ú ỉề ỉề ễ ỉệểề ìỉ ếụ ỉệề éủẹ éề ề
èụ ũ ĩề ề ỉủề ũẹ ề ụ ỉíá ẻề ề ề ỉề ỉềá
ẻề èểụề ủ ặá ể ề ề ỉề ỉềá ể èểụề ủ ẩề ủể
ỉừể ì ừ ỉệề ừ ể ạ ừ èụ ặíề ú ỉề ỉề
ũề ừí ủ ỉừể ẹ ề ỉề é ể ỉụ ũ ỉệểề ếụ ỉệề ỉễ ỉừ
ỉệề
www.VNMATH.com
èụ ũ ề ĩề ề ỉủề ũẹ ề ề éúề ừể ậ ụể ủ ủể ỉừể
ẫũề ặềá ề ụẹ ủ ụ ỉí ụể èệề èẩè ểủề ẫ
ẻỉá ề ỉụ ũ ề ỉụ ú ỉừể ềề ề ỉề é ềỉ ỉụ ũ ểủề
ỉủề ềẹ ỉễ
èụ ũ ề ĩề ủí ỉ ì ế ẹề ủ éề ỉ ề ì ìỳ ỉ ẹá
ề ủ ề ỉề ú éề íề á ề ề ỉụ ũ ỉệểề ìỉ ếụ ỉệề
ể ủ ỉ éề ề ềủí
ủ ặá ỉụề ằắẳẳ
èụ ũ
www.VNMATH.com
ề ẵ
ặề ề ỉ ũ ỉ é
ề ềủí ềỳ éừ ỳề ỉỳỉ ẹỉ ì ề ỉ ũềá ề ỉỉ ũ ỉ é
ỉễ éá ủẹ é ủ ụ ỉề ỉà ễ ể ỉẹ ủ ềề ụ ủ
ỉểụề ỉ ặ ề ỉệề ủí ề ềủí í ỉệề ụ ỉủ é ẵá
ắ
ẵẵ èễ ề ủ ỉễ é
ẵẵẵ èễ ề
ể
x
1
á
x
2
éủ ẹ ỉệểề
R
n
ề ỉứề ế
x
1
á
x
2
éủ ỉễ ụ ẹ
x = x
1
+ (1 )x
2
= x
2
+ (x
1
x
2
)
á
R
èễ
M R
n
éủ ỉễ ề ề
M
ề ũ ề ỉứề ế
ẹ ỉ ỉ
M
á ỉ éủ
x
1
, x
2
M
á
R x
1
+ (1 )x
2
M
ặ ụ ụá
M
éủ ỉễ ề ề ề ỉ ễ ỉíề ỉề ẹ ỉ
ỉ
M
ỉề ụ ì ữề
1
è ẹỉ ẹ
x R
ừề
x =
k
i=1
i
x
i
1
,
2
,ããã ,
k
R
ủ
k
i=1
i
= 1
www.VNMATH.com
éủ ỉ ễ ề ụ ẹ
1
,
2
,ããã ,
k
R
n
ặ
M R
n
éủ ẹỉ ỉễ
ề ủ
x
0
M
ỉ ỉễ
L = M x
0
=
x x
0
| x M
éủ ẹỉ ề ề
ểềá ỉ éủ ề
a, b L
ỉ ẹ ẹ
c = a + àb
, à R
ề ỉ
L
L
ề ễễ ề ủ ễễ ềề ềà ẻ íá ẹỉ ỉễ ề ỉ
ề
M = x
0
+ L =
x
0
+ v | v L
á
ỉệểề
x
0
M
ủ
L
éủ ề ề ểề ề ề ểề
L
ỉề ề
ỉễ ề
M
ề ễ ỉ ủể ụ ề
x
0
á ỉ
x
0
éủ ẹ ỉ ỉ
M
ề ềá ề ề ểề
L
ềủí ĩụ ề í ềỉ è
L
éủ ề ề
ểề ìểề ìểề
M
è ềíề ẹềìểềà í ề éủ ì ỉễ
ề
M
éủ ỉ ềíề ề ề ểề ìểề ìểề ề
ể ề ề ééà ẹỉ ỉễ
E R
n
éủ ể ỉỉ ũ ụ ỉễ ề
E
éủ ỉễ ề ề ềỉ
E
á éủ
a E
ẻ ẵẵ èễ ềẹ
M
ễề ỉệề ỉíề ỉề
Ax = b
á ỉệểề
A
éủ ẹ ỉệề ễ
m ì n
ủ ỉ
b R
m
á éủ ẹỉ ỉễ ề èỉ íá
x
1
, x
2
M
á
R
á ỉ
A
x
1
+ (1 )x
2
= Ax
1
+ (1 )Ax
2
= b + (1 )b = b
x
1
+ (1 )x
2
M
ẻ ẵắ ể ề ỉễ
E =
x R
3
| 0 x
1
1, 0 x
2
1, x
3
= 0
éủ ẹỉ ễứề ề ề
E
á ỉ
a E =
x R
3
| x
3
= 0
ẵẵắ ậ ủ ẹ ỉệểề ỉề
ậ í ỉ ềíềà ẹỉ ỉễ
M R
n
éủ ì ể ề
ềá éủ
dim M
ể ỉễ
M R
n
dim M < n
ỉ ẹ
a M
éủ ẹ ỉệểề ỉề ệéỉ ềỉệểệ ễểềỉà
M
ề ỉề ỉừ ề
ẹ
B(a, )
ìể ể
B(a, ) a M
M
ẩề ỉệểề ỉề ỉễ
M
á éủ
ri M
á éủ ỉễ ỉỉ ũ ụ ẹ
ỉệểề ỉề
M
ỉ ỉễ
M R
n
éủ ỉ ềíề í
ề
dim M = n
ỉí ệữề ỉễ
M
ễề ỉệểề ụ ệề
int M =
à
ủ ề ỉ ềíề í
www.VNMATH.com
ẻ ẵ ể
E =
x R
3
| 0 x
1
1, 0 x
2
1, x
3
= 0
á ỉ
int E =
á
ri E =
x R
3
| 0 < x
1
< 1, 0 < x
2
< 1, x
3
= 0
á ủ
dim E = 2
ẵẵ èễ é ủ ẹ ề
ể ẹ
x
1
, x
2
R
n
èễ ỉỉ ũ ụ ẹ ừề
x = x
1
+ (1 )x
2
= x
2
+ (x
1
x
2
)
á
0 1
á
éủ ểừề ỉứề ề
x
1
á
x
2
á éủ
x
1
, x
2
èễ
M R
n
éủ ỉễ é ểềĩ ìỉà ề ề ề ểừề ỉứề
ề ẹ ỉ ỉ ềá ỉ éủ
x
1
, x
2
M
á
0 1
ỉ
x
1
+ (1 )x
2
M
à
à
à à
ề ẵẵ àá à ạ èễ é àá à ạ èễ ề é
è ề ề ỉí ệữề ể ẹỉ ỉ ụ ỉễ é éủ ỉễ é èí
ềề ễ ụ ỉễ é ỳ éủ ỉễ é
è ẹ
x R
n
ừề
x =
k
i=1
i
x
i
1
,
2
,ããã ,
k
0
ủ
k
i=1
i
= 1
éủ ỉ ễ é ụ ẹ
x
1
, x
2
,ããã , x
k
R
n
ặ
i
0
i = 1, 2,ããã , k
ỉ ỉ ề
x
éủ ỉ ễ é ỉ
x
1
, x
2
,ããã , x
k
R
n
ề ẵẵ ỉ ỉễ
M R
n
éủ é ủ ề ỉỉ ũ ụ ỉ ễ
é ềề ễề ỉ ỉ ề
www.VNMATH.com
ề ẵắ
à ặ
M R
n
éủ ỉễ é ủ ì ỉ
R
n
ỉ
M = {y | y = x, x M}
ề éủ ỉễ é
à ặ
M
1
, M
2
R
n
éủ ỉễ é ỉ
M
1
+ M
2
=
x | x = x
1
+ x
2
, x
1
M
1
, x
2
M
2
ề éủ ỉễ é
ể é ểềĩ ééà ỉễ
E R
n
éủ ể ỉỉ ũ ụ ỉễ é
E
ủ éủ
conv E
éủ ỉễ é ề ềỉ
E
convE
convE
ề ẵắ ẻ ể é
ề ẵ ể é ỉễ
E R
n
ỉỉ ũ ụ ỉ ễ é ụ ễề
ỉ ỉ
E
ể ỉễ é
M R
n
ỉ ẹ
x M
éủ ẹ ề ĩỉệẹ
ễểềỉà
M
ề
x
ề ỉ ề ừề ỉ ễ é ỉ
ẹ ễề ỉ ỉ ềủể
M
á ỉ éủ
y, z M, y = z
ìể ể
x = y + (1 )z, 0 < < 1
èể ề ềá ẹỉ ẹ ề ề ỉ éủ ẹ ỉệểề ỉễ é ẻ
í ỉỉ ũ ụ ẹ ề éủ ụ ẹ ề ặ ỉễ ễ ề
ề ỉ ề ề ẹ ề
ề ẵ ỉ ỉễ é ề ụ ệề
M R
n
ẹ ề ủ
ề ề ề ẹỉ ề ỉứề ềủể
www.VNMATH.com
à
à
ề ẵ à ạ ề ề ẹ ề
à ạ ề ỉệề ì ẹ ề
ỉ ỉệề ệỉ ếề ỉệề ỉễ é ề ủ ề éủ
ề é ẵẵ ệềạ éẹềà ỉ ỉễ é ềá ề ỉệểề
R
n
éủ ể é
ụ ẹ ề ề
ẵẵ ậ ễứềá ề ề ề
ể
a R
n
\ {0}
ủ
R
èễ
H := {x R
n
| < a, x > = }
éủ ẹỉ ì ễứề íễệễéềà éủ ẹỉ ỉễ ề ì ữề
n 1
è ỉ
a
éủ ỉ ễụễ ỉíề ì ễứề ềủí ụ ỉễ
x
0
x
a
< a, x >=
ề ẵ ậ ễứề ỉệểề
R
2
{x R
n
|< a, x > }
ể
{x R
n
|< a, x > }
à
a R
n
\ {0}
ủ
R
n
éủ ề ề ề ề ủ ỉễ
{x R
n
|< a, x > < }
ể
{x R
n
|< a, x > > }
à
éủ ề ề ề ẹ ĩụ ề ì ễứề
{x R
n
| < a, x > = }
ể ỉễ
M R
n
á ỉ
a R
n
\{0}
ủ ì ỉ
R
è ì ễứề
H := {x R
n
| < a, x > = }
www.VNMATH.com
éủ ì ễứề ỉ ìễễểệỉề íễệễéềà
M
ỉừ
x
0
M
ề
x
0
H
ủ
M
ềữẹ ề ỉệểề ề ề ề ề ĩụ ề
H
á ỉ éủ
< a, x
0
>=
ủ
< a, x > , x M
M
a
x
0
ề ẵ ậ ễứề ỉ
M
ỉừ
x
0
ề é ẵắ ẫ ẹ ẹ ề
x
0
ỉễ é
M R
n
ỉề ỉừ ỉ ềỉ ẹỉ
ì ễứề ỉ
M
ỉừ
x
0
ề é ẵ ỉ ỉễ é ề ụ ệề
M R
n
éủ ể ụ ề
ề ề ỉ ề
ẵẵ ặề ủ ềề é
èễ
M R
n
éủ ềề ểềà ề
x M, 0 x M
ỉ ềề éề ẹ
0 R
n
èễ
M R
n
éủ ềề é ề
M
éủ ềề éủ éá ề éủ ỉ
x
1
, x
2
M
ủ
1
,
2
0
ỉ
1
x
1
+
2
x
2
M
0
0
ề ẵ à ạ ặề é
à ạ ặề ề é
ẻ ẵ ụ ỉễ ì í éủ ụ ềề é ề ỉừ
0
ỉệểề
R
n
ẵẳ
www.VNMATH.com
R
n
+
:= {x = (x
1
, x
2
,ããã , x
n
) : x
i
0, i = 1, 2,ããã , n}
ểệỉềỉ ề
ẹà
R
n
++
:= {x = (x
1
, x
2
,ããã , x
n
) : x
i
> 0, i = 1, 2,ããã , n}
ểệỉềỉ ềà
ề ẵ èễ
M R
n
éủ ềề é ủ ề ỉỉ ũ ụ ỉ ễ
ỉíề ỉề ề ẹ ụ ễề ỉ ề
ể ỉễ
k
ỉ
v
1
, v
2
,ããã , v
k
R
n
èễ
cone
v
1
, v
2
,ããã , v
n
:=
v R
n
| v =
k
i=1
i
v
i
,
i
0, i = 1,ããã , k
R
n
éủ ềề ìề ỉễ
v
1
, v
2
,ããã , v
k
ẻ ỉ
v
h
v
1
, v
2
,ããã , v
k
éủ ề ỉỉ í ềểề ììềỉéà ề
cone
v
1
,ããã , v
h1
, v
h+1
,ããã , v
k
= cone
v
1
, v
2
,ããã , v
k
0 0
v
1
v
2
v
3
v
1
v
2
v
3
à
à
ề ẵ à ạ ẻ ỉ
v
2
éủ ề ỉỉ í
à ạ ể ỉ
v
2
ể ỉ
v
3
éủ ề ỉỉ í
ẵẵ ẩề é ĩá ễề ề
ể ỉễ é ụ ệề
D R
n
ẻ ỉ
d = 0
éủ ễề é ĩ
ệììểề ệỉểềà
D
ề
{x + d | 0} D
ẹ
x D
ề ề ỉứề ìểề ìểề ẹỉ ễề é ĩ
d
ĩỉ ễụỉ ỉ ẹỉ
ẹ ỉ
D
ềữẹ ề ỉệểề
D
ấ ệủề ệữề ỉễ
D
ề ề
ủ
D
ẹỉ ễề é ĩ
èễ ỉỉ ũ ụ ễề é ĩ ỉễ é
D R
n
ề ỉ
0
ỉừể ỉủề
ẹỉ ềề é ặề é éủ ềề é ĩ ỉễ
D
ủ éủ
rec D
ẵẵ
www.VNMATH.com
è ề ễề
d
1
ủ
d
2
ụ ỉ ìỉềỉà ề
d
1
= d
2
> 0
ẩề é ĩ
d
ỉễ
D
éủ ễề ề ĩỉệẹ ệỉểềà
D
ề ề ỉề ỉừ ụ ễề é ĩ ụ ỉ
d
1
ủ
d
2
D
ìể ể
d =
1
d
1
+
2
d
2
1
,
2
> 0
ẵẵ ụ ề é ỉụ ỉễ é
í éủ ềề ề é ũề ềỉ ũ ỉ éá éủ ề
é ỉíỉ ỉ
ể ỉễ
C, D R
n
ủ ì ễứề
H := {x R
n
| < a, x > = }
a R
n
\ {0}
ủ
R
è ề ì ễứề
H
ỉụ ỉễ
C
ủ
D
ề
< a, x > < a, y > x C, y D
ủ ì ễứề
H
ỉụ ứề í ỉụ ỉà ỉễ
C, D
ề
< a, x > < < < a, y > x C, y D
ề é ẵ ề é ỉụ à ặ ỉễ é
C, D R
n
ề ệề ủ ệ
ề ỉ ẹỉ ì ễứề ỉụ ề
ề é ẵ ề é ỉụ à ặ ỉễ é ề
C, D R
n
ề ệềá ệ
ề ủ ỉ ềỉ ẹỉ ỉệểề ỉễ í éủ ểẹễ ỉ ẹỉ ì ễứề ỉụ ứề
ề
ếũ ẵẵ ệìà ể ỉ
a R
n
ủ ẹ ỉệề
A
ễ
m ì n
á
< a, x > 0
ẹ
x
ỉểũ ẹúề
Ax 0
ủ
y R
n
, y 0
ìể ể
a = A
T
y
ệì ệỉ ề ề ề ẻ ẹỉ ề á ềủí ệ ệữề
ềề
K = {x R
n
| Ax 0}
ềữẹ ứề ỉệểề ề ề ề
{x R
n
|< a, x > 0}
ủ ỉ ễụễ ỉíề ì ễứề
{x R
n
|< a, x > = 0}
ềữẹ ỉệểề ềề ìề ụ ủề ẹ ỉệề
A
ẵẵ èễ é ề
èễ é ề
P R
n
éủ ể ẹỉ ì ừề ề ề ề ề
ặ ụ ụá ề éủ ỉễ ềẹ ẹỉ ừề ụ ỉ ứề ỉ ỉíề
ẵắ
www.VNMATH.com
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét