Công thức toán sơ cấp - P2

55

13. Công thức liên hệ giữa các hàm số lượng giác
Hàm
sin cos tan cottan sec cossec
sin

2
1 cos



2
tan
1 tan





2
1
1 cot tan




2
sec 1
sec





1
cossec


cos
2
1 sin




2
1
1 tan




2
cot tan
1 cot tan





1
sec


2
cossec 1
cossec





tan
2
sin
1 sin





2
1 cos
cos






1
cot tan


2
sec 1



2
1
cossec 1




cottan=

2
1 sin
sin





2
cos
1 cos





1
tan



2
1
sec 1




2
cossec 1



sec
2
1
1 sin




1
cos


2
1 tan



2
1 cot tan
cot tan






2
cossec
cossec 1





cossec

1
sin


2
1
1 cos




2
1 tan
tan





2
1 cot tan



2
sec
sec 1








56

VI. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG
1. Điểm
Khoảng cách giữa hai điểm (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
):
   
22
2 1 2 1
d x x y y   

Khoảng cách từ một điểm (x, y) đến gốc tọa độ:
22
d x y

Dạng tổng quát của khoảng cách giữa hai điểm (x
1
, y
1
) và (x
2
,
y
2
) trong hệ tọa độ xiên góc 
      
22
2 1 2 1 2 1 2 1
2 cosd x x y y x x y y

      

Tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỷ lệ m/n
12
12
;
.
nx mx
x
mn
ny my
y
mn







2. Phép đổi trục tọa độ (Hình 20)
11
11
x a x x x a
y b y y y b
   


   

hoaëc



57


Hình 20
3. Tọa độ cực (Hình 21)
Ox: Trục cực;
O: Cực;
r: Bán kính vector;

: Góc cực.
22
cos ;
sin ;
.
xr
yr
r x y






4. Phép quay các trục tọa độ
x,y: Tọa độ cũ của điểm M;
x
1
, y
1
: Tọa độ mới của điểm M.

: Góc quay.
11
11
cos sin ;
sin cos .
x x y
y x y








Hình 21
y
x
0
M


Hình 22


58

5. Phương trình đường thẳng
Phương trình tổng quát Ax+By+C=0.
Phương trình chính tắc y=kx+b
Phương trình theo các đoạn chắn trên các trục tọa độ
1
xy
ab


Phương trình pháp dạng
cos sin 0x y p

  

Hệ số pháp dạng
22
1
M
AB


(dấu được chọn sao cho
ngược dấu với dầu của C).
6. Hai đường thẳng
Các phương trình ở dạng tổng quát
1 1 1
2 2 2
0
A x B y C C
A x B y C
  
  

Góc giữa hai đường thẳng đã cho (với hệ số góc k
1
, k
2
)
2 1 1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
tan
1
k k A B A B
k k A A B B





Điều kiện để hai đường thẳng song song
12
kk
hoặc
11
22
AB
AB


Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc


59

12
1kk 
hoặc
1 2 1 2
0A A B B

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
1 2 2 1
1 2 2 1
2 1 1 2
1 2 2 1
C B C B
x
B A B A
C B C A
y
B A B A














Đường thẳng thứ ba
3 3 3
0A x B y C  
đi qua giao điểm của hai
đường thẳng trên nếu:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
A B C
A B C
A B C


7. Đường thẳng và điểm
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước
 
00
,M x y

theo một hướng đã cho:
 
00
y y k x x  

tank


(

là góc lập bởi đường thẳng với chiều dương trục
hoành)
Khoảng cách từ điểm
 
11
,xy
tới một đường thẳng
11
cos sind x y p

  
(a là góc lập bởi đường thẳng với
chiều dương trục hoành) hoặc
11
22
Ax By C
d
AB



(dấu được
chọn ngược dấu với C).


60

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho
   
0 0 2 2
, , ,A x y B x y
:
11
2 1 2 1
y y x x
y y x x




Phương trình đường thẳng đi qua điểm
 
0 0 0
,M x y
và song song
với đường thẳng y=ax+b
 
00
y y a x x  

Phương trình đường thẳng đi qua điểm
 
11
,M x y
và vuông góc
với đường thẳng y=ax+b
 
11
1
y y x x
a
   

8. Diện tích tam giác
Tam giác có một đỉnh ở gốc tọa độ
 
11
1 2 1 2
22
11
22
xy
S x y y x
xy
    

Tam giác có vị trí bất kỳ
     
1 1 2 2 3 3
, , , , ,A x y B x y C x y



61

     
     
2 1 2 1
3 1 3 1
2 1 3 1 3 1 2 1
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1
2
1
2
1
2
x x y y
S
x x y y
x x y y x x y y
x y y x y y x y y

  

       


      



9. Phương trình đường tròn
Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính r
2 2 2
x y r

Đường tròn với tâm có tọa độ (a,b) bán kính r
   
22
2
x a y b r   

Phương trình tham số của đường tròn
 
cos
02
sin
x r t
t
y r t








10. Ellipse (Hình 23)
O: Tâm;
AA
1
=2a: Trục lớn;
BB
1
=2b: Trục nhỏ;
F, F
1
: Các tiêu điểm;
FM, F
1
M: Các bán kính vector;
FF
1
=2c: Tiêu cự;


62

BF=BF
1
=AO=a;
FM+F
1
M=AA
1
=2a;
a
2
-c
2
=b
2
.
Phương trình chính tắc của
Ellipse:
22
22
1
xy
ab


Tâm sai của Ellipse:
22
1
c a b
aa


  

Bán kính vector của điểm M(x, y) của Ellipse
r a x



Diện tích của Ellipse
S=ab
Phương trình tiếp tuyến với Ellipse tại điểm
 
1 1 1
,M x y

11
22
1
x x y y
ab


Phương trình pháp tuyến với Ellipse tại điểm
 
0 0 0
,M x y

 
2
0
00
2
0
ay
y y x x
bx
  

y
x
0
M
B
A1
A
F
F1
B1
2a
cc
y
r
r1
Hình 23: Hình Ellipse


63

Tham số tiêu của Ellipse
2
b
p
a


Phương trình các đường chuẩn của Ellipse
2
a
x
c

hoặc
a
x



Phương trình đường kính của Ellipse
2
2
b
yx
ak


Trong đó k là hệ số góc của đường kính liên hợp.
Phương trình tham số của Ellipse:
cos
sin
x a t
y b t






11. Hyperbola (Hình 24)
O: Tâm;
F, F
1:
Các tiêu điểm;
FM, F
1
M: Các bán kính vector;
FM-F
1
M=AA
1
-2a;
y
x
0
2c
2a
F
F1
A
A1
M
r1
r
Hình 24: Hyperbola


64

FF
1
=2c;
c
2
-a
2
=b
2
.
Phương trình chính tắc của Hyperbola
22
22
1
xy
ab


Tâm sai của Hyperbola
22
1
c a b
aa


  

Bán kính vector của điểm thuộc Hyperbola
1
c
r x a x a
a
c
r x a x a
a


   
   

Phương trình các đường tiệm cận của Hyperbola
b
yx
a


Phương trình tiếp tuyến tại điểm
 
1 1 1
,M x y

11
22
1
x x y y
ab


Phương trình pháp tuyến tại điểm
 
0 0 0
,M x y

Xem chi tiết: Công thức toán sơ cấp - P2