Chương IV - Bài 4: Công thức nghiệp của phương trình bậc hai

Tiết 53: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
2
7 1 49 37
6 3 36 36
x

+ = + =
ữ

3
1

x
2
+
x
3
7
=
x
2
+ 2.x.

3
1

3.2
7
=
2
6
7






2
6
7






x
2
+ 2.x.
6
7
3
1

+
=
+
3x
2
+ 7x = - 1
3x
2
+ 7x+1=0

1. Công thức nghiệm:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (1)
ax
2
+ bx = - c
x
2
+
a
c
x
a
b
=

a
c
a
b
xx
=+
.2
2
2
a
c
a
b
a
b
x =






+
2
2
2
42

2
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x

=






+

(2)

2
2






+
a
b
a
b
xx
2
.2
2
+
a
c
=
2
2






+
a
b
3
1

x
2
+
x
3
7
=
x
2
+ 2.x.

3
1

3.2
7
=
3x
2
+ 7x = - 1
2
7 1 49 37
6 3 36 36
x

+ = + =
ữ


Em hãy biến đổi phương
trình tổng quát về dạng có vế
trái là bình phương của một
biểu thức, vế phải là hằng số ?
2
6
7






2
6
7






x
2
+ 2.x.
6
7
3
1

+
=
+
Dựa vào các bước biến đổi
đã có của phương trình

1. Công thức nghiệm:
ax
2
+bx +c = 0 (a 0) (1)
ax
2
+bx = - c
x
2
+
a
c
x
a
b
=

a
c
a
b
xx
=+
.2
2
2
a
c
a
b
a
b
x =






+
2
2
2
42

2
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x

=






+

(2)
Người ta kí hiệu
=b
2
-4ac

2
2






+
a
b
a
b
xx
2
.2
2
+
a
c
=
2
2






+
a
b
Như vậy, chúng ta đã biến
đổi phương trình (1) thành
phương trình (2) có vế trái là
một bình phương của một
biểu thức, còn vế phải là một
hằng số.
Ta có thể khai phương hai
vế để tìm được x chưa ?
Tiết 53: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Ta có:
2
2
42 aa
b
x

=






+
(2)
?1
?1
Hãy điền những biểu thức thích hợp vào các chỗ trống ( ) dưới đây:
a) Nếu >0 thì từ phương trình (2) suy ra

2
=+
a
b
x
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm: x
1
= , x
2
=
b) Nếu = 0 thì từ phương trình (2) suy ra

2
=+
a
b
x
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép x =
?2
?2
Hãy giải thích vì sao khi < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm:
=+
a
b
x
2
a) Nếu > 0 thì từ phương trình (2) suy ra
?1
?1
?2
?2
Nếu < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
(vì phương trình (2) vô nghiệm do vế phải là một số âm còn
vế trái là một số không âm )
a2

b) Nếu = 0 thì từ phương trình (2) suy ra
0
2
=+
a
b
x
Giải:
2
2
42 aa
b
x

=






+
(2)
,
a
b
2
+
x
1
=
a
b
2

x
2
=
Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép
a
b
2

x =

Từ kết quả và ,với phương trình bậc hai
ax
2
+bx +c = 0 (a 0) và biệt thức = b
2
- 4ac
Với điều kiện nào của thì:
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt?
+ Phương trình có nghiệm kép?
+ Phương trình vô nghiệm ?
?2
?2
?1
?1
> 0
= 0
< 0

Kết luận chung:

Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
2

=
a
b
x
2
1
+
=
,
Đối với phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (a 0)
và biệt thức = b
2
- 4ac :

Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép
a
b
xx
2
21
==

Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Từ kết luận trên, theo các em để giải một phư
ơng trình bậc hai, ta có thể thực hiện qua
những bước nào?
Các bước giải một phương trình bậc hai:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bước 2: Tính .
Bước 3: Kết luận số nghiệm của phương trình.
Bước 4: Tính nghiệm theo công thức nếu phương trình có nghiệm.

Giải:
= b
2
- 4ac
=5
2
- 4.3.(-1)
=25 + 12 = 37 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
6
375
3.2
375 +
=
+
=
2.áp dụng:
Ví dụ: Giải phương trình 3x
2
+ 5x - 1 = 0
6
375
3.2
375
=

=
Bước 2: Tính ?
Bước 4: Tính nghiệm
theo công thức?
Bước 1: Xác định
các hệ số a, b, c ?
a
b
x
2
2

=
a= 3, b= 5,
c= - 1
Bước 3: Kết luận số
nghiệm của phương
trình ?

Bài tập 1:
áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình:
a) 5x
2
- x + 3 = 0 b) - 4x
2
+ 4x - 1 = 0
c) x
2
- 7x - 2 = 0
b) - 4x
2
+ 4x - 1 = 0
a= - 4, b = 4, c = - 1
= b
2
- 4ac =16
2
- 4.(-4).(- 1)
= 16 - 16 = 0
Phương trình có nghiệm kép
2
1
)4.(2
4
=

=
Giải:
a) 5x
2
- x + 3 = 0
a= 5 , b = -1 , c = 3
= b
2
- 4ac=(-1)
2
- 4.5.3
= 1 - 60 = -59 < 0
Phương trình vô nghiệm.
a
b
2

x
1
= x
2
=

c) x
2
- 7x - 2 = 0
a=1, b = -7, c =- 2
= b
2
- 4ac
= (-7)
2
- 4.1.(- 2)
=49 +8 =57 >0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
+
=
a
b
x
2
2

=
2
577
1.2
57)7(
=

=
2
577
1.2
57)7( +
=
+
=

Cả hai cách giải trên đều đúng. Em nên chọn
cách giải nào ? Vì sao?
Bài tập 2: Khi giải phương trình 15x
2
- 39 = 0.
Bạn Mai và Lan đã giải theo hai cách như sau:
Bạn Lan giải:
15x
2
- 39 = 0
a=15, b = 0, c = -39
=b
2
- 4ac = 0
2
- 4.15.(-39)
= 0 + 2340 = 2340 >0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
+
=
5
65
30
65.36
15.2
23400
==
+
=
a
b
x
2
2

=
5
65
30
65.36
15.2
23400
=

=

=
Bạn Mai giải:
15x
2
- 39 = 0
5
13
15
39
2
==x


5
13
=x
15x
2
= 39

5
65
1
=x
5
65
2

=x

Xem chi tiết: Chương IV - Bài 4: Công thức nghiệp của phương trình bậc hai