Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn
có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm
cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại
mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc
biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những
tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng
hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối
với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài
toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực
trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã
có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin,
A.Yger, A.Zeriahi, Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với
hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát
hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến
phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi
tiếng của Cartan-Boutroux.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp
khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ
điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux:
- Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong
n
cũng
như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu
Euclid trong
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2
- Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong
n
suy ra bất đẳng thức
so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển
trong
n
.
- Đồng thời áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về
cỡ của “Lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lưa
Hausdorff. (Ước lượng đều trên cỡ của tập mức con của lớp của các hàm đa
điều hòa dưới, được gọi là các lemniscat đa điều hòa dưới.)
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ trình bày:
- Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà
dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối.
- Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các
số Lelong.
- Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa
điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài
liệu trong và ngoài nước. Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị
phức. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở
trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra.
Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu
loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương
pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm
đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3–
vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như
đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chư-
ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của
hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương
đối. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các
số Lelong.
Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực
tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa
điều hoà dưới.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
4
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dưới
1.1.1. Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n
và
[ )
:,u
là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với
trên bất kỳ thành phần
liên thông nào của
W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a
và
n
b
, hàm
()u a bll+a
là điều hoà dưới hoặc trùng
trên mỗi thành phần của tập hợp
{ }
:abll
. Trong trường hợp
này, ta viết
()u PSH
. ( ở đây
()WPSH
là lớp hàm đa điều hoà dưới
trong
W
).
1.1.2. Định lý. Cho
[ )
:,u
là một hàm nửa liên tục trên và
không trùng
trên bất kỳ thành phần liên thông của
n
. Khi đó
()u PSH
khi và chỉ khi với mỗi
a
và
n
b
sao cho
{ }
: , 1abl l l
,
ta có
( ) ( ; , )u a l u a b
,
trong đó
2
0
1
( ; , ) ( )
2
it
l u a b u a e b dt
p
p
=+
.
Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
5
Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được
suy ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của những hàm điều
hoà dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới.
1.1.3. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n
và
()u PSH
. Nếu
0e >
sao cho
e
, thì
()uC
ee
l
PSH
Hơn nữa,
u
e
l*
đơn
điệu giảm khi
e
giảm, và
0
lim ( ) ( )u z u z
e
e
l
*=
với mỗi
z
.
Phép chứng minh giống như chứng minh của định lý xấp xỉ chính cho các
hàm điều hoà dưới. Trước tiên ta cần bổ đề sau:
1.1.4. Bổ đề. Cho
n
là một tập mở và
1
()
loc
uL
. Giả thiết rằng
a
,
n
b
, và
{ }
: , 1abl l l
. Khi đó
( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a b
ee
cl* = *
.
Chứng minh. Vế trái của đẳng thức bằng
2
0
1
( ) ( ) ( )
2
n
it
u a e b dt d
p
e
w c w l w
p
+-
.
Do định lý Fubini, nó bằng vế phải của đẳng thức trên.
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý.
Chứng minh. Do [7], Mệnh đề 2.5.2 tr44
()i
,
()uC
ee
l
. Định lý
1.2.2 kết hợp với bổ đề trên, suy ra
()u
ee
l PSH
. Sử dụng lập luận đó
như trong [7], bổ đề 2.5.3 tr 46, đối với mỗi biến riêng, chúng ta có thể
chứng minh (bằng qui nạp theo
j
) ước lượng sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
6
1
1
1 1 1 1 1 1
( , , , , , ) ( , , , , , )
n
j j n j j n
C
u I d
e
l w w w w l w w w w
-
- + - +
,
trongđó
1 1 1
( , , , , , )
j j n
I w w w w
-+
=
1 2 1 2 1 1 1 1
( , , , , , ) ( ) ( )
j j j j n n j
C
u z z z z de w e w e w e w c w l w
++
+ + + +
,
21
0 ee
và
1
1
( , , )
n
z z z
e
. Từ đó
12
( )( ) ( )( ) ( )u z u z u z
ee
ll
.
Phần còn lại của chứng minh cũng như trong [7], Định lý 2.5.5 tr47.
Bây giờ chúng ta sẽ trình bày vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính.
1.1.5. Hệ quả. Cho
W
và
W
là những tập mở trong
n
và
k
, tương ứng.
Nếu
()u PSH
và
:f
là một ánh xạ chỉnh hình, thì
ufo
là đa
điều hoà dưới trong
W
.
Chứng minh. Nếu
u
và
u-
là đa điều hoà dưới, thì do Hệ quả 1.2.6 và (3),
2
()uC
. Bởi vậy
( ) , 0Lu a b b =
với mọi
,ab
thích hợp, và như vậy
()u PH
. Điều ngược lại là tầm thường.
Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính
chất khác:
1.1.6. Hệ quả. Nếu
, ( )uvPSH
và
uv=
hầu khắp nơi trong
W
, thì
uv
.
1.1.7. Hệ quả. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong
miền bị chặn, tức là nếu
W
là một tập con mở liên thông bị chặn của
n
và
()u PSH
, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi
z
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
7
( ) sup lim sup ( )
y
y
u z u y
ww
<
.
1.1.8. Định nghĩa. Tập hợp
n
E
được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm
aE
đều có một lân cận
V
của
a
và một hàm
()uV PSH
sao cho
{ }
: ( )E V z V u z
.
Cho
W
là một tập con mở trong
.
n
Ta nói rằng một ánh xạ chỉnh
hình
:
m
f
là không suy biến trong
W
nếu trong mỗi thành phần liên thông
của
W
có thể tìm được một điểm
z
sao cho hạng của
z
f
là
m
.
1.1.9. Mệnh đề. Cho
:
m
f
là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến
trên một tập mở
m
và
W
là một lân cận mở của
()f W
trong
m
. Cho
{ }
()
A
u
a
a
PSH
sao cho bao trên của nó
sup
A
uu
a
a
=
là bị chặn trên địa
phương. Khi đó
**
( ) ( ).u f u f=oo
Chứng minh. Đặt
{ }
: det 0
z
A z f
.
Vì
det
z
zfa
là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên A có độ đo
Lebesgue bằng không. Hạn chế của ánh xạ
f
trên
\ AW
là mở (do định lý
ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có
{ }
*
0
( ) lim sup ( ( )) : ( , )u f u f z z B a
e
e
o
=
{ }
0
lim sup ( ) : ( ( , ))u f B a
e
w w e
( )( ),u f a
*
= o
với bất kỳ
\aA
. Bởi vậy
( ) ( )u f u f
**
=oo
hầu khắp nơi trong
W
.
Cũng vậy
( ) ,( ) ( )u f u f
**
ooPSH
. Do đó
( ) ( )u f u f
**
=oo
trong
W
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8
1.1.10. Mệnh đề. Cho dãy
{ }
()
j
j
u
PSH
bị chặn đều địa phương.
Đặt
( ) lim sup ( )
j
j
z
u z u z
=
. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên
u
*
là đa
điều hoà dưới trong
W
.
1.1.11. Định lý. Cho dãy
{ }
()
j
j
u
PSH
bị chặn đều địa phương trong
n
. Giả sử
lim sup ( )
j
j
u z M
với mỗi
z
và một hằng số
M
nào đó. Khi đó với mỗi
0e >
và mỗi tập
compact
K
tồn tại một số tự nhiên
0
j
sao cho, với
0
jj
,
sup ( )
j
zK
u z M e
.
1.1.12. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n
và
{ }
: ( )F z v z
là một tập con đóng của
W
ở đây
()v PSH
. Nếu
( \ )uFPSH
là bị
chặn trên, thì hàm
u
xác định bởi
( ) ( \ )
()
lim sup ( ) ( )
yz
yF
u z z F
uz
u y z F
=
là đa điều hoà dưới trong
W
. Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong
\ FW
,
thì
u
là đa điều hoà trong
W
. Nếu
W
là liên thông, thì
\ FW
cũng liên
thông.
1.1.13. Mệnh đề. Nếu
()
n
u PSH
và
u
là bị chặn trên, thì
u
là hằng
số.
Cho
,
WW
là những tập mở liên thông trong
n
và
:f
là một
ánh xạ riêng. Dễ kiểm tra rằng
f
là ánh xạ đóng.
Ngoài ra, nếu
f
là chỉnh hình thì :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
9
()i
f
là mở và đặc biệt là
()f
W = W
(vì
f
cũng đóng);
()ii
nếu
{ }
:0
z
A z f
, thì với mỗi
a
có một hình cầu mở
B
,
tâm tại
a
và chứa trong
W
, và một hàm
()gB O
sao cho
0g
và
1
( ) (0)f A B g
-
;
()iii
các thớ của
f
, đó là các tập hợp
1
()f w
-
trong đó
w
, là hữu hạn.
Chú ý rằng
()ii
là trường hợp đặc biệt của định lý ánh xạ riêng của
Remmert .
1.1.14. Mệnh đề. Cho
:f
là một toàn ánh chỉnh hình riêng giữa
hai tập mở trong
n
. Nếu
()u PSH
, thì công thức
{ }
1
( ) max ( ) : ( ) ( )v z u f z zww
-
xác định một hàm đa điều hoà dưới.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng
W
là liên
thông.
Nếu
G
là một tập con mở compact tương đối trong
W
, thì tập mở f
–1
(G)
là compact tương đối trong
W
,
vì
f
là ánh xạ riêng. Bởi vậy, theo định lý
xấp xỉ chính, chỉ cần chứng minh mệnh đề là đúng đối với các hàm đa điều
hoà dưới liên tục.
Giả sử rằng
( ) ( )u PSH
. Nếu
a
và
b
là các số thực sao cho
ab<
, thì
[ )
1 1 1
(( , )) ( (( , ))) \ ( ( , )).v a b f u a f u b
- - -
Do đó
v
là liên tục trong
W
. Do đó
1
1
( \ ( ))
: ( \ ( )) \ ( )
f f A
f f f A f A
-
-
W
là song chỉnh hình địa phương. Bởi vậy tồn tại duy nhất một số
k
sao
cho với mỗi
\ ( )z f A
tồn tại một lân cận
\ ( )V f A
của
z
và
những lân cận rời nhau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
10
1
, ,
k
UU
của
1
, ,
k
ww
, trong đó
{ }
1
1
, , ( )
k
fzww
-
=
,
sao cho
()i
:
j
j
U
f U V
là ánh xạ song chỉnh hình,
()ii
1
1
( )
k
f V U U
-
.
Do đó
( \ ( ))v f A
PSH
. Vì
v
là liên tục và
()fA
là đa cực nên suy ra
tính đa điều hoà dưới của
v
.
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại
1.2.1.Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n
và
:u
là hàm
đa điều hoà dưới. Ta nói rằng
u
là cực đại (hoặc cực trị) nếu với mỗi tập
con mở compact tương đối G của
W
, và với mỗi hàm nửa liên tục trên
v
trên
G
sao cho
()vG PSH
và
vu
trên
G
, đều có
vu
trong G.
Ký hiệu
()WM PSH
là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên
W
.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề. Cho
n
là mở và
:u
là hàm đa điều hoà
dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
()i
Với mỗi tập con mở compact tương đối G của
W
và với mỗi hàm
()v PSH
, nếu
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x
với mọi
Gx
, thì
uv
trong G ;
()ii
Nếu
()v PSH
và với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K
sao cho
uv e
trong
\ KW
, thì
uv
trong
W
.
()iii
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
uv
trên
G
thì
uv
trong G ;
()iv
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x
với mỗi
Gx
, thì
uv
trong G ;
()v
u
là hàm cực đại.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét